Automatic Conversion from Fibonacci Representation to Representation in Base φ, and a Generalization

Every positive integer can be written as a sum of Fibonacci numbers; it can also be written as a ((nite) sum of (positive and negative) powers of the golden mean '. We show that there exists a letter-to-letter nite two-tape automaton that maps the Fibonacci representation of any positive integer onto its '-expansion, provided the latter is folded around the radix point. As a corollary, the set of '-expansions of the positive integers is a linear context-free language. These results are actually proved in the more general case of quadratic Pisot units. RR esum e Tout nombre entier positif peut s'' ecrire comme une somme de nombres de Fi-bonacci; tout entier peut egalement s'' ecrire comme une somme ((nie) de puissances (positives et nn egatives) du \nombre d'or" '. Nous montrons qu'il existe un automate a deux bandes, ni et lettre-a-lettre, qui envoie la reprr esentation d'un entier en base de Fibonacci sur sa reprr esentation dans la base ' modulo le fait qu'on a replii e cette dernii ere autour du point dd ecimal. On en dd eduit que l'ensemble des reprr esentations des entiers en base ' est un langage context-free linn eaire. Tous ces rr esultats sont en fait etablis dans le cas gg enn eral o u la base considd err ee est un nombre de Pisot quadratique unitaire.